** Test de pièces métalliques

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une entreprise fabrique des pièces métalliques. La probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans le stock soit défectueuse est \(P = 0{,}01\). On note \(\text{D}\) l’événement « la pièce choisie est défectueuse ».

1. On choisit successivement deux pièces dans le stock. La production est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler le choix des deux pièces à un tirage avec remise.
    a. Recopier et compléter l’arbre de probabilités proposé ci-dessous.

    b. Déterminer la probabilité que les deux pièces choisies soient défectueuses.

2. On choisit successivement trois pièces dans le stock. La production est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler le choix des trois pièces à un tirage avec remise.
    a. Représenter cette répétition de trois tirages aléatoires identiques et indépendants à l’aide d’un arbre de probabilités.
Soit \(X\) la variable aléatoire qui, à un tirage de trois pièces, associe le nombre de pièces défectueuses.
    b. Calculer \(P(X = 0)\). Interpréter dans le contexte de l’exercice.
    c. En déduire la probabilité que le lot contienne au moins une pièce défectueuse.